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平方数和与立方数和

2020-07-08

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在高中数学的「数列与级数」单元中,有三个众所周知的级数和公式:

$$\displaystyle 1+2+3+\mbox{…}+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=[\frac{1}{2}n(n+1)]^2$$

并且都必须用「数学归纳法」加以证明。于是,教师费尽唇舌的解释「数学归纳法」以及卖力的证明,但是,对于尚未充分理解「数学归纳法」的学生而言,只能依样画葫芦地按步骤表面操弄,并且记住公式,如此单一的学习方式似乎显得徒劳无功。换句话说,教师使用「数学归纳法」在逻辑上严格证明等式恆成立,但是,证明本身能否激发学生多少数学思维?甚至在证明之前,学生对于题目本身的了解和体会究竟有多少?

例如:
$$1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=$$?
$$1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=$$?

这两个级数和究竟如何得知的呢?

笔者认为相较于形式严谨的证明,如果让初学者先从一个美妙的图形实例开始思索,体验到数学发现的过程,例如:观察、猜想、归纳、试验、确认和总结出之所以如此的理由,那幺,这一类问题的意义便可了然于胸。因此,笔者要补充另外的证明方式以供参考。

在美国数学协会(The Mathematical Association of America,简称MAA)出版的Proofs Without Words 中,编入许多不用文字的证明,底下(1)、(2),是摘录平方数和的图形;立方数和的图形参见 (3)、(4)、(5)、(6);至于自然数的和在此不赘述。

(1)$$1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=\frac{1}{3}n(n+1)(n+\frac{1}{2})$$

平方数和与立方数和

(2)$$3(1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2)=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$$

平方数和与立方数和

(3)$$1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=(1+2+3+\mbox{…}+n)^2$$

平方数和与立方数和

(4)$$1\times{1}^2+2\times{2}^2+3\times{3}^2+\mbox{…}+n\times{n}^2=\frac{1}{4}(n^2+n)^2$$

平方数和与立方数和

(5)$$1\times{1}^2+2\times{2}^2+3\times{3}^2+\mbox{…}+n\times{n}^2=(1+2+3+\mbox{…}+n)^2$$

平方数和与立方数和

(6)$$1\times{1}^2+2\times{2}^2+3\times{3}^2+\mbox{…}+n\times{n}^2=\frac{1}{2}(n)(n+1)(1+2+3+\mbox{…}+n)$$

$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$

平方数和与立方数和

这些是数学里可以「看到」的几何实例,一看就懂、不证自明,而不是抽像的符号或是不易领会的理论。倘若在课堂上偶尔建构一个既简洁又巧妙的图形,对学生而言或许是惊喜和深刻的印象。诚然,图形在教学上扮演有意义的角色,但是数学家对它的「正当性」有所保留,诚如柏拉图在他的《理想国》中强调吾人在心灵思考数学客体时,千万不可被图形所迷惑或左右。毕竟,数学上有需多细节和陷阱,致使数学家必须秉持逻辑论证,要求文字形式上严密的证明。所以,採用「数学归纳法」证明级数和公式亦有其考量。因此,图形的直观与形式证明的严谨各有其优点,将两者适时铺陈以呈现最佳教学策略。


参考资料
Roger B. Nelsen (1993). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: MAA。
洪万生 (2007). 〈图说一体、不证自明〉,《HPM 十年风华》,高中数学学科中心。

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